ミツトヨ デジマチックインサイドノギスはギャンブルに関する古典的なパラドックスである。
まず、このゲームでもらえる賞金の期待値を計算しよう。このゲームは確率1/2で1円、確率1/4で2円、確率1/8で4円…、というように賞金を得る。よって、期待値は
サンクトペテルブルクのパラドックス
まず、このゲームでもらえる賞金の期待値を計算しよう。このゲームは確率1/2で1円、確率1/4で2円、確率1/8で4円…、というように賞金を得る。よって、期待値は
\begin{equation*} \frac{1}{2}\cdot 1 +\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\cdots = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}+ \cdots = \infty \end{equation*}
厳密な議論まとめ
参考文献
・Wikipedia：サンクトペテルブルクのパラドックス
・W. Feller, “Note on the Law of Large Numbers and ‘Fair’ Games,” Ann. Math. Statist., 16, 301–304 (1945). ; フリーdownload可能なlink
前提
大数の法則
直観的な議論
\begin{equation} M \geq 8\cdot0 + 4 \cdot 1 + 2\cdot 2 + 1 \cdot 4+ 1 \cdot 8 = 20 \text{円} \end{equation}
と見積もれる。従って、一回あたりの参加費を$p$とすれば、このゲームによる儲け$E$は$E=M-Np \geq 20-16p$となる。つまり$p \leq 1.25$ならば、$E \geq 0$となり利得が期待できる。大数の法則
直観的な議論
\begin{equation} M \geq 8\cdot0 + 4 \cdot 1 + 2\cdot 2 + 1 \cdot 4+ 1 \cdot 8 = 20 \text{円} \end{equation}
厳密な議論まとめ
参考文献
・Wikipedia：サンクトペテルブルクのパラドックス
・W. Feller, “Note on the Law of Large Numbers and ‘Fair’ Games,” Ann. Math. Statist., 16, 301–304 (1945). ; フリーdownload可能なlink